8 Contoh Soal Garis Singgung Persekutuan Dalam Beserta Gambar Dan Pembahasannya

8 Contoh Soal Garis Singgung Persekutuan Dalam beserta Gambar dan Pembahasannya – Mempelajari garis singgung persekutuan dalam bakal terasa lebih mudah jika Anda langsung mengerjbakal soal tentang materi terkait, lho.

Perlahan, Anda bakal menjadi terbiasa menggunbakal rumus dan memecahkan soal dengan mudah. Sehingga proses belajarmu bakal lebih efektif. 📖✨

Oleh lantaran itu, Mamikos telah menyiapkan pempembahasan tentang contoh soal garis singgung persekutuan dalam beserta gambar di tulisan ini. Namun sebelum itu, ingat kembali, yuk, materi garis singgung nan sudah dipelajari di sekolah! 😉

Sekilas Materi Garis Singgung Persekutuan Dalam

Garis singgung persekutuan dalam adalah garis nan menyentuh masing-masing dari dua lingkaran pada satu titik, dengan kedua lingkaran berada di sisi nan berlawanan dari garis tersebut.

Garis ini selampau tegak lurus terhadap jari-jari lingkaran di titik singgungnya dan posisinya berada di antara kedua lingkaran.

Rumus Garis Singgung Persekutuan Dalam

Misalkan dua lingkaran mempunyai jari-jari r₁ dan r₂, dengan jarak antar pusat s. Panjang garis singgung persekutuan dalam (d) dapat dihitung dengan rumus:

d = √(s² − (r₁ + r₂)²)

Rumus ini berlsaya jika jarak pusat lingkaran lebih besar daripada jumlah jari-jari, ialah s > r₁ + r₂.

Contoh Gambar dan Cara Menggambar

Garis singgung persekutuan dalam menghubungkan titik singgung pada masing-masing lingkaran. Titik singgung digambar sedemikian rupa sehingga garis singgung tegak lurus dengan jari-jari nan menghubungkan pusat lingkaran dengan titik singgung tersebut.

Perhatikan gambar di bawah ini, ya.

Pempembahasan Contoh Soal Garis Singgung Persekutuan Dalam beserta Gambar

Nah, dari ringkasan materi di atas, sekarang Anda bisa memulai untuk belajar menggunbakal contoh soal nan terdiri dari 8 nomor ini, ya. Perhatikan setiap langkah pengerjaan agar Anda semakin paham. Selbanget belajar!

Contoh Soal Garis Singgung Persekutuan Dalam Bagian 1

1. Perhatikan gambar berikut ini!

Dari satu titik P di luar sebuah lingkaran ditarik dua garis singgung nan menyentuh lingkaran di titik Q dan R. Diketahui panjang jari-jari lingkaran OQ = 8 cm dan jarak dari pusat lingkaran ke titik luar OP = 17 cm. Tentukan:

a. Panjang PQ
b. Luas segitiga OPQ
c. Luas layang-layang PQOR

Pembahasan:

Diketahui:
OQ = 8 cm
OP = 17 cm
OQ tegak lurus PQ (karena garis dari pusat ke titik singgung selampau tegak lurus dengan garis singgung).

a. Panjang PQ

Pada segitiga OPQ, berlsaya teorema Pythagoras:
OP² = OQ² + PQ²

Maka:
PQ² = 17² – 8²
PQ² = 289 – 64
PQ² = 225
PQ = √225 = 15

Jadi, panjang PQ = 15 cm.

b. Luas segitiga OPQ

Karena segitiga OPQ siku-siku di Q, maka:
Luas = ½ × dasar × tinggi
= ½ × PQ × OQ
= ½ × 15 × 8
= 60 cm²

Jadi, luas segitiga OPQ = 60 cm².

c. Luas layang-layang PQOR

Layang-layang PQOR tercorak dari dua segitiga kongruen, ialah segitiga OPQ dan segitiga OPR. Maka luas layang-layang = 2 × luas segitiga OPQ.

Luas = 2 × 60 = 120 cm²

Jadi, luas layang-layang PQOR = 120 cm².

2. Titik O adalah pusat sebuah lingkaran. Diketahui perspektif OPA = (2x + 10)° dan perspektif POA = (4x + 8)°. Tentukan nilai x dari gambar di bawah ini.

Pembahasan:

Karena O adalah pusat, OP dan OA adalah jari-jari sehingga OP = OA. Jadi segitiga OPA adalah segitiga sama kaki dengan perspektif di P dan di A sama besar. Artinya perspektif di A = perspektif di P.

Jumlah tiga perspektif dalam segitiga = 180°, maka:
2 × perspektif di P + perspektif di O = 180°

Substitusi nilai nan diberikan:
2 × (2x + 10) + (4x + 8) = 180

Hitung langkah demi langkah:
2 × (2x + 10) = 4x + 20

Sehingga persamaan jadi: (4x + 20) + (4x + 8) = 180
Gabungkan suku-suku: 4x + 4x + 20 + 8 = 180 → 8x + 28 = 180
Kurangi 28 dari kedua sisi: 8x = 180 − 28 = 152
Bagi kedua sisi dengan 8: x = 152 ÷ 8 = 19

Jadi nilai x = 19.

3. Pada gambar di bawah ini, diketahui PA merupbakal garis singgung terhadap sebuah lingkaran dengan pusat O. Panjang jari-jari lingkaran adalah 16 cm, dan panjang garis singgung PA = 30 cm. Tentukan panjang PO.

Pembahasan:

Karena PA adalah garis singgung, maka jari-jari OA tegak lurus pada garis singgung PA.
Dengan demikian, segitiga OAP adalah segitiga siku-siku di titik A.

Diketahui:
OA = 16 cm
PA = 30 cm

Maka untuk mencari PO digunbakal teorema Pythagoras:
PO² = OA² + PA²

Hitung satu per satu:
OA² = 16² = 256
PA² = 30² = 900
PO² = 256 + 900 = 1156

Akar dari 1156 adalah 34.

Jadi, panjang PO = 34 cm.

4. Perhatikan gambar di bawah ini.

Dua lingkaran masing-masing mempunyai jari-jari PS = 37 cm dan QR = 13 cm. Jarak antara pusat kedua lingkaran PQ = 74 cm. Tentukan panjang garis singgung SR nan menghubungkan kedua lingkaran.

Pembahasan:

Rumus panjang garis singgung persekutuan luar:
SR² = (PQ)² − (selisih jari-jari)²

Masukkan data:
SR² = 74² − (37 − 13)²
SR² = 5476 − 24²
SR² = 5476 − 576
SR² = 4900

Maka:
SR = √4900 = 70

Contoh Soal Garis Singgung Persekutuan Dalam Bagian 2

5. Diketahui segitiga PQR seperti gambar berikut dengan PQ = jari-jari lingkaran. Jika segitiga PQR siku-siku, tentukan pernyataan mana nan benar:

a. ∠PRQ = 30°
b. ∠RPQ = 60°
c. ∠PQR = 90°
d. ∠PRQ + ∠RPQ = 180°

Pembahasan

1. Karena segitiga PQR siku-siku, satu perspektif = 90°.

2. Sudut siku-siku selampau pada satu titik, jumlah dua perspektif lain = 90°.

Opsi:

a. ∠PRQ = 30° → mungkin, tapi tidak pasti dari info nan ada

b. ∠RPQ = 60° → mungkin, tapi tidak pasti dari info nan ada

c. ∠PQR = 90° → menunjukkan perspektif dari segitiga siku-siku

d. ∠PRQ + ∠RPQ = 180° →  tidak mungkin, jumlah dua perspektif < 180°

Maka, jawaban nan betul adalah  c. ∠PQR = 90°

6. Dua lingkaran mempunyai garis singgung persekutuan dalam sepanjang 12 cm. Lingkaran besar mempunyai jari-jari 3 cm, dan jarak antara kedua pusat lingkaran = 13 cm. Tentukan jari-jari lingkaran kecil.

Pembahasan:

Rumus panjang garis singgung persekutuan dalam:
panjang garis singgung² = jarak antar pusat² − (jumlah jari-jari)²

Diketahui:

panjang garis singgung = 12 cm

rBesar = 3 cm

jarak pusat = 13 cm

rKecil = ?

Masukkan angka:
12² = 13² − (rKecil + 3)²
144 = 169 − (rKecil + 3)²
(rKecil + 3)² = 169 − 144 = 25
rKecil + 3 = √25 = 5
rKecil = 5 − 3 = 2

Jadi jari-jari lingkaran mini = 2 cm

7. Dua lingkaran mempunyai jari-jari sama 4,5 cm. Jarak antara pusat kedua lingkaran = 15 cm. Tentukan panjang garis singgung persekutuan dalam kedua lingkaran.

Pembahasan:

Rumus panjang garis singgung persekutuan dalam:
panjang garis singgung² = jarak antar pusat² − (jumlah jari-jari)²

Diketahui:

r1 = r2 = 4,5 cm

jarak pusat = 15 cm

Maka:

jumlah jari-jari = 4,5 + 4,5 = 9 cm
panjang garis singgung² = 15² − 9²
panjang garis singgung² = 225 − 81 = 144
panjang garis singgung = √144 = 12

Jadi panjang garis singgung persekutuan dalam adalah 12 cm.

8. Dua lingkaran mempunyai selisih diameter 10 cm. Garis singgung persekutuan dalam = 20 cm, jarak pusat kedua lingkaran = 25 cm. Tentukan jari-jari lingkaran nan lebih kecil.

Pembahasan:

Misal jari-jari lingkaran besar = R, lingkaran mini = r.
Diketahui selisih diameter = 10 → 2R − 2r = 10 → R − r = 5

Rumus panjang garis singgung persekutuan dalam:
panjang² = jarak pusat² − (R + r)²

Masukkan angka:
20² = 25² − (R + r)²
400 = 625 − (R + r)²
(R + r)² = 625 − 400 = 225
R + r = √225 = 15

Sekarang kita punya sistem:
R − r = 5
R + r = 15

Jumlahkan: 2R = 20 → R = 10
R − r = 5 → 10 − r = 5 → r = 5

Maka jawabannya adalah 5 cm.

Penutup

Semoga setelah belajar dengan contoh soal garis singgung persekutuan dalam beserta gambar di atas, Anda menjadi semakin mengerti dan percaya diri di ujian nanti.

Oh, ya, jangan lupa mampir ke blog Mamikos jika Anda hendak mencari materi belajar mata pelaliran lainnya. 🐾

Klik dan dapatkan info kost di dekat kampus idamanmu:

Kost Dekat UGM Jogja

Kost Dekat UNPAD Jatinangor

Kost Dekat UNDIP Semarang

Kost Dekat UI Depok

Kost Dekat UB Malang

Kost Dekat Unnes Semarang

Kost Dekat UMY Jogja

Kost Dekat UNY Jogja

Kost Dekat UNS Solo

Kost Dekat ITB Bandung

Kost Dekat UMS Solo

Kost Dekat ITS Surabaya

Kost Dekat Unesa Surabaya

Kost Dekat UNAIR Surabaya

Kost Dekat UIN Jakarta