Contoh Soal Persamaan Diferensial Orde 1 Dan 2 Beserta Pembahasannya

Pernah merasa stuck dan putus asa saat mengerjbakal contoh soal persamaan diferensial orde 1 dan 2? Tenang, Anda tidak sendiri. Masih banyak nan menganggap bahwa materi persamaan diferensial sangat susah dengan adanya simbol-simbol. 📏😵‍💫

Dengan memahami pola persamaan diferensial, Anda bisa mengerjbakal beragam macam contoh soal. Ingin menguji pemahkondusif dan kemampuanmu dalam menjawab soal? Simak contoh-contohnya berikut.

Contoh Soal Persamaan Diferensial Orde 1 dan 2 dan Pembahasannya

Sebelum mengerjbakal contoh soal persamaan diferensial, pahami terlebih dulu konsep dasarnya. Dengan demikian, saat diminta mengerjbakal soal nan lebih kompleks, Anda tidak bakal kesulitan.

Materi persamaan diferensial biasanya dipelajari di bangku kuliah pada bidang tertentu. Misalnya Jurusan Teknik, Jurusan Fisika, Jurusan Matematika, dan bidang lain nan memerlukan pemodelan matematis.

Banyak mahasiswa mengulang mata kuliah ini bukan lantaran tidak paham, tapi terlampau konsentrasi pada simbol dan bukan logikanya.

Yuk, kita mulai dengan belajar konsep persamaan diferensial.

Bayangkan Anda sedang mengendarai motor dengan kecepatan dan jarak tertentu. Jarak nan Anda tempuh disebut kegunaan (y), sedangkan kecepatan motormu (perubahan jarak per detik) disebut turunan pertama (y’ alias dy/dx).

Apabila ada percepatan alias perubahan kecepatan per detik, maka disebut turunan kedua (y” alias d2y/dx2 ).

Persamaan diferensial seumpama teka-teki nan menanybakal sampai level kecepatan (y’) alias sudah sampai ke level percepatan (y”). Tujuan akhirnya adalah mencari nilai y.

Secara definisi, persamaan diferensial adalah persamaan nan melibatkan satu alias lebih turunan fungsi. Pada persamaan diferensial orde 1, terdapat turunan pertama dy/dx contohnya y’= f(x,y). Sedangkan persamaan diferensial orde 2, terdapat turunan kedua d2y/dx2.

Sekarang, Anda bisa menguji pemahamanmu dengan soal-soal berikut ini.

Tingkat Kesulitan: Mudah (Pemahkondusif Konsep Dasar)

1. Manakah di bawah ini nan merupbakal Persamaan Diferensial Orde 2?
A. (dy/dx)² + y = x
B. d²y/dx² + 3(dy/dx) – y = 0
C. dy/dx + 2y = x² D. y”’ – y = 0
E. x(dy/dx) – y = 0

Jawaban: B
Pembahasan: Orde ditentukan oleh turunan tertinggi. Opsi B mempunyai d²y/dx² (turunan kedua) sebagai turunan tertingginya, sehingga merupbakal PD orde 2.

2. Solusi umum dari persamaan diferensial dy/dx = 3x² adalah…
A. y = 3x³ + C
B. y = x³ + C
C. y = 6x + C
D. y = x² + C
E. y = 3x + C

Jawaban: B Pembahasan: dy = 3x² dx
Integralkan kedua ruas:
∫ dy = ∫ 3x² dx
y = x³ + C

3. Tentukan solusi umum dari y’ – 2y = 0.

A. y = Ce²ˣ
B. y = Ce⁻²ˣ
C. y = e²ˣ
D. y = 2eˣ + C
E. y = eˣ + C

Jawaban: A
Pembahasan:
dy/dx = 2y
dy/y = 2 dx
∫ 1/y dy = ∫ 2 dx
ln|y| = 2x + C₁
y = e^(2x + C₁) = e^C₁ . e²ˣ
y = Ce²ˣ

4. Persamaan karakter dari y” – 5y’ + 6y = 0 adalah…
A. r² + 5r + 6 = 0
B. r² – 5r – 6 = 0
C. r² – 5r + 6 = 0
D. 2r² – 5r + 6 = 0
E. r – 5 = 0

Jawaban: C
Pembahasan: Ganti y” dengan r², y’ dengan r, dan y dengan 1. Maka didapatkan persamaan karakter r² – 5r + 6 = 0.

5. Akar-akar persamaan karakter dari y” – 3y’ + 2y = 0 adalah…

A. 1 dan 2
B. -1 dan -2
C. 1 dan -2
D. -1 dan 2
E. 3 dan 2

Jawaban: A
Pembahasan:
Persamaan: r² – 3r + 2 = 0
Faktorkan: (r – 1)(r – 2) = 0
Maka akar-akarnya adalah r = 1 dan r = 2

Tingkat Kesulitan: Sedang (Aplikasi Rumus & Ketelitian)

1. Solusi umum dari y” – 4y’ + 4y = 0 adalah…

A. y = C₁e²ˣ + C₂e²ˣ
B. y = C₁e²ˣ + C₂e⁻²ˣ
C. y = (C₁ + C₂x)e²ˣ
D. y = (C₁ + C₂x)e⁻²ˣ
E. y = C₁ cos(2x) + C₂ sin(2x)

Jawaban: C
Pembahasan:
Persamaan karakteristik: r² – 4r + 4 = 0
(r – 2)² = 0. Akar kembar r = 2.
Rumus akar kembar:
y = (C₁ + C₂x)eʳˣ
y = (C₁ + C₂x)e²ˣ

2. Berapa solusi unik dari dy/dx = x, dengan syarat y(0) = 2.
A. y = ½x² + 2
B. y = x² + 2
C. y = ½x² – 2
D. y = ½x² + C
E. y = 2x² + 2

Jawaban: A
Pembahasan:
Solusi umum: y = ½x² + C.
Substitusi syarat y(0) = 2: 2 = ½(0)² + C
C = 2
Jadi, y = ½x² + 2

3. Ftokoh integrasi dari persamaan linear dy/dx + (2/x)y = 3 adalah…

A. e²ˣ
B. ln(x)
C. x²
D. 1/x
E. 2/x

Jawaban: C
Pembahasan:
Bentuk umumnya adalah: y’ + P(x)y = Q(x)
Di sini P(x) = 2/x
Ftokoh Integrasi (µ) = e^(∫ P(x) dx)
µ = e^(∫ 2/x dx)
= e^(2 ln x)
= e^(ln x²)
= x²

4. Bentuk persamaan diferensial nan dapat diselesaikan dengan memisahkan variabel adalah…

A. dy/dx = x + y
B. dy/dx = xy
C. dy/dx = sin(x + y)
D. dy/dx = x² + y²
E. y” + y = x

Jawaban: B
Pembahasan: dy/dx = xy
dapat diubah menjadi (1/y) dy = x dx.
Pilihan jawaban nan lain tidak dapat dipisah secara langsung.

Tingkat Kesulitan: Sulit

1. Diketahui terdapat sebuah barang nan bergerak dengan laju perubahan suhu nan sebanding dengan selisih suhu barang dan suhu ruangan (Hukum Pendinginan Newton). Persamaan diferensialnya adalah…

A. dT/dt = k(T + Tm)
B. dT/dt = k(T – Tm)
C. dT/dt = k(T)
D. d²T/dt² = k(T – Tm)
E. dT/dt = kT

Jawaban: B
Pembahasan:
Laju perubahan (dT/dt) sebanding (= k) dengan selisih suhu (T – Tm).
Karena suhu biasanya turun, k berbobot negatif, alias ditulis dT/dt = -k(T-Tm).
Bentuk umumnya adalah pilihan B (k bisa positif alias negatif tergantung konteks soal, tapi strukturnya T – Tm)

Soal Esai

Soal 1

d²y/dx² – 5(dy/dx) + 6y = 0

Jawaban: y = C₁e^(2x) + C₂e^(3x)
Pembahasan:
Ubah ke persamaan karakter dengan mengganti d²y/dx² dengan r², dy/dx dengan r, dan y dengan 1. r² – 5r + 6 = 0
Faktorkan Persamaan dengan mencari dua nomor nan jika dikali hasilnya 6, tetapi jika dijumlah hasilnya -5. Angka tersebut adalah -2 dan -3. Maka, (r – 2)(r – 3) = 0
Cari akar-akarnya: r₁ = 2 dan r₂ = 3
Tentukan solusi umum: Karena akar-akarnya bilangan riil dan berbeda (r₁ ≠ r₂), maka rumusnya adalah
y = C₁e^(r₁x) + C₂e^(r₂x). y
y = C₁e^(2x) + C₂e^(3x)

Soal 2

d²y/dx² + 4(dy/dx) + 4y = 0

Jawaban: y = (C₁ + C₂x)e^(-2x)
Pembahasan:
Ubah ke persamaan karakteristik: r² + 4r + 4 = 0
Faktorkan persamaan dengan mencari dua nomor nan jika dikali hasilnya 4, dan dijumlah hasilnya 4. Angka tersebut adalah 2 dan 2 (kembar). Maka (r + 2)(r + 2) = 0 alias (r + 2)² = 0
Cari akar-akarnya: r₁ = r₂ = -2 (Akar kembar)
Tentukan solusi umum: Untuk akar riil kembar, Anda kudu menamapalagi variabel “x” pada salah satu konstanta agar solusinya tidak sama.
Rumusnya: y = (C₁ + C₂x)e^(rx). y
y = (C₁ + C₂x)e^(-2x)

Soal 3

d²y/dx² + 9y = 0

Jawaban: y = C₁ cos(3x) + C₂ sin(3x)
Pembahasan:
Ubah ke Persamaan Karakteristik: r² + 9 = 0
Cari akar-akarnya: r² = -9 r = ±√(-9) r = ±3i (Akar imajiner/kompleks) Di sini, nilai α (bagian riil) = 0 dan β (bagian imajiner) = 3.
Tentukan solusi umum: Rumus untuk akar imajiner (α ± βi) adalah
y = e^(αx) [C₁ cos(βx) + C₂ sin(βx)]
y = e^(0x) [C₁ cos(3x) + C₂ sin(3x)]
Karena e⁰ = 1, maka
y = C₁ cos(3x) + C₂ sin(3x)

Tips Mengerjbakal Soal Persamaan Diferensial Orde 1 dan 2

Terapkan tips-tips mengerjbakal soal persamaan diferensial orde 1 dan 2 agar lebih mudah:

1. Identifikasi orde dan linearitas dari kalimat nan diketahui pada soal. Jika hanya ada dy/dx alias y’, artinya Orde 1. Jika ada d²y/dx² alias y”, artinya Orde 2. Perlu Anda ketahui bahwa jumlah orde turut menentukan jumlah konstanta (c) pada jawaban akhir. Orde 1 hanya mempunyai satu C, sedangkan Orde 2 mempunyai dua C (C₁ dan C₂).

2. Gunbakal metode nan tepat untuk tiap soal lantaran tidak semua soal bisa diselesaikan hanya dengan satu cara.
Saat mengerjbakal Orde 1, periksa terlebih dulu apakah variabelnya dapat dipisah alias tidak. Jika tidak bisa, gunbakal Ftokoh Integrasi. Saat mengerjbakal Orde 2, lihat ruas kanan jika sudah berbobot 0 gunbakal Persamaan Karakteristik (r² + br + c = 0).

3. Belajar materi integral bakal memudahkanmu dalam menyelesaikan soal-soal persamaan diferensial. Hafalkan integral dasar seperti

• ∫ xⁿ dx = (1/n+1) xⁿ⁺¹ + C
• ∫ (1/x) dx = ln|x| + C
• ∫ eᵃˣ dx = (1/a) eᵃˣ + C

4. Jangan anggap remeh konstanta “C”. Huruf C menunjukkan terdapat banyak kemungkinan kegunaan asal nan mempunyai turunan sama, sehingga wajib dicantumkan.

5. Lakukan verifikasi untuk mengetahui kebenaran jawabanmu. Caranya dengan menurunkan kembali kegunaan jawaban nan sudah Anda dapatkan. Jika hasil turunannya sama seperti soal semula, maka jawabanmu sudah benar.

Penutup

Demikian info contoh soal persamaan diferensial orde 1 dan 2 nan dapat Anda jadikan referensi belajar.

Jika tetap mengalami kesulitan dalam mengerjbakal contoh-contoh soal mengenai persamaan diferensial orde 1 dan 2, Anda bisa mencari sumber belajar lain.

Jangan lupa terus berlatih mengerjbakal soal persamaan diferensial dengan beragam tingkat kesulitan agar semakin terbiasa.

Kamu juga bisa mendapatkan info materi belajar nan lain di blog Mamikos. Semoga bermanfaat! ☺️

Klik dan dapatkan info kost di dekat kampus idamanmu:

Kost Dekat UGM Jogja

Kost Dekat UNPAD Jatinangor

Kost Dekat UNDIP Semarang

Kost Dekat UI Depok

Kost Dekat UB Malang

Kost Dekat Unnes Semarang

Kost Dekat UMY Jogja

Kost Dekat UNY Jogja

Kost Dekat UNS Solo

Kost Dekat ITB Bandung

Kost Dekat UMS Solo

Kost Dekat ITS Surabaya

Kost Dekat Unesa Surabaya

Kost Dekat UNAIR Surabaya

Kost Dekat UIN Jakarta